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なぜ円周率は「3.14・・・」なのか?

羅列された円周率のイラスト

こんにちは、オウミ技研、ハード部です!
今回のお題は、円周率の『π(パイ)』になります。

羅列された円周率のイラスト

みなさんも小学校の算数で習いましたよね?
誰もが知っている円周率πですが、
なぜ『3.14・・・』なのでしょうか?

では、早速ですが、その理由を解明していきましょう!

先ずは、基本中の基本、『半径rの円の円周を求める公式』

半径を示す円

 ☆ 円周=2πr

を少しいじってみましょう。

 ☆ 円周=2πr
     ⇩
 ☆ π=円周÷2r
     ⇩
 ☆ π=円周÷直径

と式を変形させていきます。
最終的に、『π=円周÷直径』となりますので、
円周率πは『円周が直径に対して何倍かを表したもの』になります。
すなわち、『円周は円の直径の3.14・・・倍』ということになります。
たしかに、見た目、だいたい3倍くらいの長さに見えると思います。

直径を示す円

では、本題の「3.14・・・」という数字ですが、
一体どうやって導きだされたものなのでしょうか?

【その①】直径が1の円とその円に内接、外接するような正方形を描きます。

円周に内外接する正方形

【その②】各々の正方形の外周を計算します。

円周に内接する正方形の外周

 ☆ 内接する正方形の外周≒0.707107×4=2.828428
 ☆ 外接する正方形の外周=1×4=4

【その③】内接する正方形の外周は、円周より必ず小さくなり、
外接する正方形の外周は、円周より必ず大きくなりますので、円周を各々の外周で挟み撃ちします。

 ☆ 2.828428<円周<4

ここで、円の直径2rが1になりますので、円周=円周率となりまして、

 ☆ 2.828428<π<4

かなりアバウトな数値ですが、πは2.828428より大きく、
4よりも小さいという結果が得られます。

【その④】正方形を正六角形に変えて、その①~その③を繰り返します。

円周に内接する六角形の外周

 ☆ 内接する正六形の外周=0.25×12=3
 ☆ 外接する正六形の外周≒0.288675×12=3.4641

 ☆ 3<π<3.4641

もうお分かりだと思いますが、正多角形の角の数を増やしていきますと、
多角形の外周の長さがより円周に近づいていきますので、
さらに精度の高い円周率が得られるという理屈になります。
どんどん角の数を増やしていきますと、いずれは、おなじみの「π≒3.14」が得られます。

最後に、余談になりますが、以下、東大の数学の入試問題(2003年)になります。

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 ・「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」
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「円に内接する正八角形の外周 < 円周」を利用すれば、問題を簡単に解くことができます。

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