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「3.141592・・・・」の謎

つい先月の仕事中での1コマです。
(以下、すべてひとりごと。)

「コイルのリアクタンスは・・・・」
「2πfL」
「2かける、πが3.14で・・・・」
「んっ?」
「・・・・・・・・(しばらく考える)」
「3.14って、なにもの?」
「どこからやってきた?」

こんにちは、ハードウェア部です!
今回のお題は、円周率のπになります。
みなさんも小学校の算数で習いましたよね?
誰もが知っている円周率πですが、冒頭でのひとりごとと同じ疑問を持っている人も多いのではないでしょうか?
毎度の展開になりますが、これからその謎を紐解いていきたいと思います。

先ずは、基本中の基本、半径rの円の円周を求める公式

  ・円周=2πr

を少しいじってみましょう。

  ・円周=2πr ⇒ π=円周÷2r ⇒ π=円周÷直径

と式を変形させていきます。
最終的に、「π=円周÷直径」となりますので、円周率πは、「円周が直径に対して何倍かを表したもの」になります。
すなわち、円周は円の直径の3.14・・・・倍ということになります。
たしかに、見た目、だいたい3倍くらいの長さに見えると思います。

では、本題の「3.14・・・・」という数字ですが、一体どうやって導きだされたものなのでしょうか?
この先の解説は、ネットの力を借りることにします。

【その①】直径が1の円とその円に内接、外接するような正方形を描きます。

【その②】各々の正方形の外周を計算します。

  ・内接する正方形の外周≒0.707107×4=2.828428
  ・外接する正方形の外周=1×4=4

【その③】内接する正方形の外周は、円周より必ず小さくなり、外接する正方形の外周は、円周より必ず大きくなりますので、円周を各々の外周で挟み撃ちします。

  ・2.828428 < 円周 < 4

ここで、円の直径2rが1になりますので、円周=円周率となりまして、

  ・2.828428 < π < 4

かなりアバウトな数値ですが、πは、2.828428より大きく、4よりも小さいという結果が得られます。

【その④】正方形を正六角形に変えて、その①~その③を繰り返します。

  ・内接する正六形の外周=0.25×12=3
  ・外接する正六形の外周≒0.288675×12=3.4641

  ・3 < π < 3.4641

もうお分かりだと思いますが、正多角形の角の数を増やしていきますと、多角形の外周の長さがより円周に近づいていきますので、さらに精度の高い円周率が得られるという理屈になります。
どんどん角の数を増やしていきますと、いずれは、おなじみの「π≒3.14」が得られます。

最後に、余談になりますが、以下、東大の数学の入試問題(2003年)になります。

  ・「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」

「円に内接する正八角形の外周 < 円周」を利用すれば、問題を簡単に解くことができます。

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